sexta-feira, 29 de agosto de 2008

CLÁUDIO PTOLOMEU E SUAS CONTRIBUIÇÕES À MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO


Este trabalho visa dissertar sobre os aspectos históricos e biográficos da vida de Cláudio Ptolomeu, bem como sobre suas pesquisas e descobertas matemáticas.

A obra de Ptolemeu abrange os campos da Astronomia, Geografia, Física e Matemática e através do teorema por ele criado chega-se à dedução de formulas trigonométricas.

Com o passar do tempo, muitas de suas obras se perderam, entretanto as que restaram contribuíram muito para o desenvolvimento da humanidade
1 CLÁUDIO PTOLOMEU

1.1 Sua Vida

Cláudio Ptolomeu foi um extraordinário astrônomo, geógrafo, físico e matemático da Universidade de Alexandria, nascido em Ptolomaida, Hérmia, no alto Egito, no século II, cujo compêndio de astronomia elaborado, foi adotado pela igreja durante toda a Idade Média, com sua tese de que a Terra ocupava o centro do universo foi aceita durante 14 séculos, até ser desmentida pelas teorias de Copérnico e Galileu. Ptolomeu morreu aos 78 anos de idade.

Trabalhou em Alexandria, no Egito (120-145) e foi o último dos grandes sábios gregos e procurou sintetizar o trabalho de seus predecessores e, por meio de suas obras de astronomia, matemática, geometria, física e geografia, a civilização medieval teve seu primeiro contato com a ciência grega. Pioneiro no emprego de meridianos como seguimentos de reta divergentes a partir dos pólos e paralelos como arcos de círculo concêntricos, seu mapa-mundi era composto de um conjunto de 26 mapas regionais e sua obra foi fundamental para a evolução da cartografia.

Morreu em Alexandria e vários de seus escritos chegaram aos nossos dias, entre elas a mais influente e significativa obra de trigonometria e uma síntese de todo o conhecimento de astronomia da Antigüidade.

1.2 Suas Obras

Com seus estudos e seus livros Ptolomeu contribuiu para todos os ramos do saber científico. Infelizmente, parte de seus escritos perdeu-se: os que restam, no entanto, são suficientes para documentar a importância de seu trabalho.

Sua obra mais importante é a Síntese Matemática, que é um trabalho de natureza enciclopédica composto de 13 livros, que constitui a síntese dos trabalhos obtidos pelos astrônomos gregos da antiguidade e nos apresenta e desenvolve argumentos a favor da teoria geocêntrica do universo. Em seguida, a obra passou a ser chamada pelo nome de “O Grande Astrônomo” e por volta do século IX, os árabes usavam o superlativo Magiste que significa “O Maior”, para se referir à obra. Nesse termo foi acrescentado o artigo árabe Al, então surgiu o nome Almagesto (A1-Magiste), como a obra é hoje conhecida.

No primeiro livro Ptolomeu defende, em linhas gerais, a teoria geocêntrica; o segundo contém uma tabela de cordas e rudimentos de trigonometria esférica; no terceiro fala a respeito do movimento do Sol e da duração do ano; o quarto livro trata do movimento da Lua e da duração dos meses; o quinto livro abrange as mesmas questões tratadas no quarto, bem como as distâncias do Sol e da Lua, além de descrever o astrolábio (antigo instrumento para tomar a altura dos astros); os eclipses do Sol e da Lua são tratados no sexto livro, que contém uma tabela desses acontecimentos, além de uma tabela de conjunções e aposições dos planetas; os dois livros seguintes, o sétimo e o oitavo, trazem um catálogo de 1022 estrelas; os cinco últimos, finalmente, são dedicados exclusivamente à exposição detalhada da teoria geocêntrica.

Trabalho de natureza enciclopédica, o Almagesto tornou-se o principal texto sobre astronomia nos dezesseis séculos seguintes, até que Kepler forneceu os argumentos que consolidaram definitivamente a teoria heliocêntrica formulada por Copérnico.

Escreveu também sobre geografia desenhando mapas, catalogando cidades e rios, etc. Em Geografia, a bíblia da geografia antiga, uma obra em oito volumes, descreveu métodos de projeção cartográficas e introduziu um sistema de latitudes e longitudes tal como é utilizado ainda hoje. Na sua astronomia o universo era geocêntrico, com um sistema de órbitas excêntricas. Criou o sistema cosmológico (178 d.C.) baseado na teoria geocêntrica de Aristóteles, que se tornou um dogma católico e vigorou desde a Antiguidade ate a Revolução de Copérnico (1543). Seu lado astrológico foi retratado no Tetrabiblos, em quatro volumes, onde pregava uma espécie de religião sideral, misturando astrologia, superstições e crendices tradicionais. Definiu o valor da constante p como 377/120. Outras obras dignas de menção são: Peri diastáseos (Sobre a dimensão), na qual tenta provar que só pode existir espaço tridimensional, e Peri ropon (Sobre o equilíbrio), em que trata de física mecânica, Geogranphike hyphegesis (Introdução a geografia) com idéias de que a Ásia se estendia muito mais a leste, Harmônica, um tratado sobre musica em três volumes.

A Baixa Idade Média passou à história como um dos mais negros períodos por que passou a cultura da humanidade. As formas mais extremadas de obscurantismo caracterizavam o pensamento filosófico, e, por decorrência, todos os ramos de atividade. A ciência, com isso, estagnou-se em muitos de seus ramos, não sendo raros os casos em que sofreu franco retrocesso.

Por ser uma atividade (naquela época) preponderantemente especulativa, a astronomia e sua irmã, a cosmogonia, sentiram todo o impacto desse estado de coisas: em 1400, a Europa conhecia menos sobre o cosmos do que a Grécia conhecera, 19 séculos antes.

A Terra consolidara-se como o centro estático do universo: em torno dela giravam planetas e estrelas, fixos em imaginárias esferas giratórias de cristal.

Essa concepção cosmogônica teve suas primeiras origens com o astrônomo Hiparco de Nicéia, no século II a.C., sendo aperfeiçoada por outros pensadores, notadamente Cláudio Ptolomeu.

Segundo Ptolomeu, os planetas, o Sol e a Lua giravam em torno da Terra na seguinte ordem: Lua, Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno. Com a ajuda da trigonometria, Ptolomeu estudou o movimento desses astros mas propôs uma explicação muito simplista para o problema do movimento aparente dos planetas: em determinados pontos de suas órbitas eles parecem deter-se, inverter seu movimento, deter-se novamente, finalmente mover-se na direção primitiva. Esses fenômenos devem-se, na realidade, ao fato de a Terra e os planetas moverem-se com velocidades diferentes em órbitas aproximadamente concêntricas e circulares. Ptolomeu, porém, para procurar explicar esse fenômeno aparentemente tão estranho, elaborou um sistema bastante complicado, embora geometricamente plausível. Os planetas estariam fixados sobre esferas concêntricas de cristal, presididas pela esfera das estrelas Todas essas esferas girariam com velocidades diferentes, o que, julgava Ptolomeu, explicava as diferentes velocidades médias com que se moviam os diversos planetas.

Mas restava ainda explicar os movimentos retrógrados e as "paradas" dos planetas. Ptolomeu foi então obrigado a fazer os planetas executarem movimentos em epiciclo: cada um deles girava descrevendo círculos (os epiciclos) sobre uma esfera menor, cujo centro estava situado sobre a esfera maior. Assim o céu encheu-se de várias rodas-gigantes. Com o passar do tempo, porém, foi-se percebendo que o mecanismo não explicava satisfatoriamente os movimentos celestes. Como resultado, o número de epiciclos cresceu enormemente, de tal forma que, ao tempo de Copérnico, a confusão formada pelas centenas de rodas-gigantes
dentro de rodas-gigantes era tão grande que já escapara da compreensão dos estudiosos. Para coroar o complicadíssimo mecanismo, os teólogos medievais povoaram o céu com exércitos de anjos, querubins, etc., cada qual responsável por um epiciclo.

Para determinar a posição de pontos geográficos, Ptolomeu seguia o método de Hiparco, dando sua longitude e latitude. Dividiu o equador, como Hiparco, em 360 partes (graus), traçando meridianos e paralelos. Todavia, ao considerar o valor da circunferência da Terra a fim de poder calcular as distâncias entre os vários pontos, Ptolomeu cometeu um erro que acarretou uma série de imprecisões. Ao invés de adotar a medida encontrada por Eratóstenes no século 11 a.C., que dava o valor da circunferência da Terra muito próximo ao que hoje é aceito, Ptolomeu achou melhor adotar a medida de Possidônio, quase 30% menor.


Como conseqüência, houve um erro constante na longitude, que foi sempre calculada inferior à realidade. O engano repercutiu proporcionalmente na latitude, e por isso nos mapas de Ptolomeu as regiões aparecem sempre alongadas, ou seja, longitudinalmente achatadas. As latitudes meridionais foram deslocadas para o norte, fazendo com que as terras conhecidas na época ficassem todas situadas no hemisfério norte. Veja a seguir um dos mapas criado por Cláudio Ptolomeu:
Ainda segundo os cálculos de Ptolomeu, a Ásia estendia-se muito mais para leste do que na realidade. Nesse caso, seguindo a direção leste-oeste, a Europa estaria próxima à extremidade oriental da Ásia. Foi esse erro que levou Colombo a se aventurar na realização de sua viagem em direção às índias, encontrando o continente americano.

Na obra denominada Analema, ele fornece uma série de métodos e regras para a construção de relógios solares. Em O Planisfério, encontrado somente na tradução latina feita de um texto árabe, trata das projeções a serem utilizadas na construção de globos e mapas terrestres: aí Ptolomeu utilizou o pólo sul como centro de projeção.

Preparou também um calendário no qual dava a hora em que as várias estrelas apareciam e desapareciam no céu, no alvorecer e no crepúsculo. Esse trabalho faz parte de uma obra em dois volumes, denominada Hipóteses Planetárias.

Alguns antigos comentaristas mencionam mais dois trabalhos sobre geometria, desconhecidos atualmente como Peri diastáseos (sobre a dimensão), na qual tenta provar que só pode existir espaço tridimensional, o outro contém a demonstração dada por ele para provar o teorema de Euclides sobre as paralelas.
O trabalho de Ptolomeu sobre os fenômenos ópticos está contido na óptica, que não existe no original grego, mas apenas numa tradução latina feita de uma cópia árabe do século XII. Há indícios de que a obra original era composta de cinco livros. No último deles, Ptolomeu trata da teoria da refração e discute esse fenômeno na observação de corpos celestes situados em diferentes altitudes.

Finalmente, Ptolomeu escreveu um tratado sobre música. Conhecido corno Harniônica, foi publicado em grego e latim.

1.3 Suas Contribuições à Matemática

O Almagesto é um marco, um modelo de Astronomia que perdurou até Copérnico, no século XVI. Ptolomeu, na verdade, sistematizou e compilou no Almagesto uma série de conhecimentos bastante difundidos em sua época e que a maior parte da obra é baseada no trabalho do astrônomo e matemático grego Hiparco, cujos livros se perderam. Isto aparece num comentário sobre trabalhos mais antigos, de Teon de Alexandria, que viveu dois séculos após e foi um dos matemáticos que pesquisaram sobre as descobertas dos gregos anteriores. Ele menciona que Hiparco escreveu doze livros sobre cálculo de cordas, incluindo uma tábua de cordas.

O Almagesto sobreviveu e por isso temos suas tabelas trigonométricas e também uma exposição dos métodos usados nas construções, o que é de grande importância para nós, visto que tanto daquela época se perdeu. Como disse Kennedy:

Dos treze livros que compõem o Almagesto, o primeiro contém as informações matemáticas preliminares, indispensáveis na época, para uma investigação dos fenômenos celestes, tais como proposições sobre geometria esférica, métodos de cálculo, uma tábua de cordas e explicações gerais sobre os diferentes corpos celestes. Os demais livros são dedicados à Astronomia.

As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que envolvem a co-tangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 332.

O desenvolvimento da trigonometria esta bastante ligado à astronomia. Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias informações que foram transmitidas para os gregos, foi essa astronomia primitiva que deu origem à trigonometria esférica.

Foram os gregos que pela primeira vez fizeram um estudo das relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos que subtendem. Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis ou fórmulas trigonométricas. Em Os elementos é possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos, respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13, porém enunciadas em linguagem geométrica. Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria" pois na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros que se ocupa da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, uma tábua de cordas, Ptolomeu também construiu uma tabela de cordas que fornece o seno dos ângulos de a com incrementos de 15". Evidentemente Hiparco fez estes cálculos para usá-los em sua astronomia.

Também parece ter sido Hiparco o primeiro a dividir o círculo em na sua tábua de cordas. Talvez ele tenha tomado a idéia de Hipsicles que dividiu o dia em 360 partes (inspirado na astronomia babilônica).

Teon de Alexandria menciona um tratado de Cordas num círculo em seis livros, escrito por Menelau de Alexandria, que assim como vários outros de seus tratados se perdeu. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe.

No Livro I estabelece uma base teórica para estudo dos triângulos esféricos assim como Euclides fez para os triângulos planos, como teoremas usuais de congruência e teoremas sobre triângulos isósceles entre outros. Além disso, contém um teorema que não possui um análogo euclidiano, dois triângulos esféricos são congruentes quando os ângulos correspondentes são iguais (ele não fazia distinção entre triângulos esféricos congruentes e simétricos). Estabelece-se também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior que . O Livro II contém teoremas de interesse da astronomia e no livro III desenvolve-se a trigonometria esférica através da proposição conhecida como teorema de Menelau: se uma transversal intercepta os lados BC, CA, AB de um triângulo ABC nos pontos L, M, N, respectivamente, então:
Analogamente na trigonometria esférica ao invés de uma transversal temos um círculo máximo transversal interceptando os lados BC, CA, AB de um triângulo esférico ABC, respectivamente nos pontos L, M, N e a conclusão correspondente é:

No Almagesto temos uma tabela mais completa que a de Hiparco, com os ângulos de meio em meio grau, de 0º a 180º, esta tabela pode ser encontrada no livro Curso Ilustrativo Arte Moderna, da Ed. Lisa, do autor M.A Oliveira, pág 331. Ptolomeu utilizava a base 60, com a circunferência dividida em 360 graus e o raio em 60 partes e frações sexagesimais, não só para expressar ângulos e sim para qualquer tipo de calculo, com exceção dos de medida de tempo. Também consta, no Almagesto, o Teorema de Ptolomeu.

Ptolomeu desenvolveu o estudo da trigonometria nos capítulos dez e onze do primeiro livro do Almagesto. O capítulo 11 consiste numa tabela de cordas e o capítulo 10 explica como tal tabela pode ser calculada. Na verdade, não existe no Almagesto nenhuma tabela contendo as .funções. seno e cosseno, mas sim a função corda do arco x, ou crd x, embora naturalmente estes termos não apareçam.

A “função” corda do arco x era definida como sendo o comprimento da corda que corresponde a um arco de x graus em um círculo cujo raio é 60. Assim, na tabela de cordas de Ptolomeu existiam três colunas: a primeira listando os arcos, a segunda, o comprimento da corda correspondente a cada arco e a terceira que dava o aumento médio de crd x correspondente a um acréscimo de um minuto em x. Esta coluna era usada para interpolações, isto é, para achar o valor de crd x se x estivesse entre duas entradas na coluna de arcos.


1.4 Teorema de Ptolomeu

O resultado que passou a ser conhecido como Teorema de Ptolomeu: Se ABCD é um quadrilátero convexo inscrito num círculo, então a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais.

Demonstração: Quadrilátero inscrito ABCD
Teorema: AC.BD = AB. CD + BD. AD

Figura 1 Figura 2
Para demonstrar o teorema proposto, foi construído um ponto E sobre a diagonal AC (figura 1) de maneira que o ângulo e sejam congruentes.

Se observarmos em primeiro lugar ( figura 2 ) que os triângulos BCE e ABD são semelhantes , pois os ângulos e são iguais por construção, e os ângulos e também são iguais, pois subtendem o mesmo arco, logo seus lados correspondentes são proporcionais, portanto :
( I )

Em seguida observamos os triângulo BAE e BDC ( figura 2 ) podemos verificar que os mesmos também são semelhantes, pois os ângulos em B são iguais por construção e os ângulos e são iguais por subtenderem o mesmo arco, então:
( II )
Adicionando ( I ) e ( II ), resulta:
BC.AD + AB.CD = CE .BD + AE.BD
BC.AD + AB.CD =BD.(CE + AE)
Como CE + AE = AC, concluímos :
BC.AD + AB.CD = BD.AC
O enunciado original não era este, pois o produto de segmentos só era entendido geometricamente e não como produtos dos números que medem seus comprimentos, na sua usual versão Ocidental . Ao contrário, Ptolomeu enunciava assim: “O retângulo construído sobre AC e BD é igual ao retângulo construído sobre AB e DC mais o retângulo construído sobre AD e BC”.

1.5 Desafio de Ptolomeu

Curiosidades sobre famosos matemáticos da história da humanidade têm um poder especial de atração. "Misturam um pouco de aventura, ficção e muito conteúdo", diz o professor Marcelo Ribeiro. A maioria delas pode ser resumida em pequenos contos matemáticos como este, sobre Ptolomeu.

O ProblemaCerta vez, em suas andanças pelo Egito, Ptolomeu teria sido desafiado por um faraó a medir a altura de uma de suas pirâmides. Mas havia uma condição. Ele não poderia se aproximar dela com nenhum tipo de instrumento de medida.
O artifício que Ptolomeu usou para resolver o desafio foi simples: usou a noção de proporcionalidade.

Uma proporção, como ensina o professor Marcelo Ribeiro, pode ser escrita em forma de fração, de modo a relacionar duas grandezas. Por exemplo, podemos dizer que, se em uma fileira de 15 centímetros de comprimento conseguimos acomodar lado a lado três bananas,
outra fileira que tenha o triplo do tamanho terá disponível um espaço onde caberão três vezes mais bananas.
Essa proporção se traduz em: 15 centímetros está para 3 bananas assim como 45 centímetros está para 9 bananas. Ou, escrevendo matematicamente...
A SOLUÇÃO
Para resolver seu desafio, Ptolomeu utilizou o seguinte estratagema: apoiou uma estaca de tamanho conhecido, 1 metro, sob a luz do Sol. O objetivo era comparar a sombra da pirâmide com aquela projetada pela estaca. Como as faces da pirâmide são inclinadas, Ptolomeu precisou fazer um ajuste. Acrescentou metade do lado da base da pirâmide à medida de sua sombra, para obter a distância até o centro da base. O passo seguinte foi estabelecer uma relação entre essas duas medidas.
A proporção pôde então ser escrita:Calculando o numerador da segunda fração, teremos a altura da pirâmide.Neste exemplo, é 20, ou seja, a pirâmide media 20 metros

Uma observação: as medidas estão adaptadas para padrões atuais. Ptolomeu certamente fez seus cálculos usando côvados (antiga medida equivalente a 3 palmos — 0,66 metro) ou braças (equivalente a 10 palmos — 2,2 metros).
Depois de contar essa história, convide seus alunos a dar uma volta no pátio da escola e descobrir uma edificação que possa ter sua altura determinada com a mesma técnica. Se possível,o próprio prédio da escola.
2 EXPRESSÕES TRIGONOMÉTRICAS

A partir do resultado do Teorema de Ptolomeu, operando com as cordas dos arcos, chega-se a demonstração as expressões trigonométricas referentes à diferença de dois arcos, soma de dois arcos e arco metade.

2.1 Diferença de dois arcos

2.1.1 Seno da diferença

Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito numa semicircunferência de raio R, conforme a figura 3.

Figura 3

Desta forma temos que OD = AO = R e AD = 2R. Os Triângulos ACD e ABD são retângulos, pois estão inscritos numa semicircunferência, assim podemos escrever:




Traçaremos agora dois segmentos: CE, passando pelo centro da circunferência O, e BE, formando assim o triângulo BCE, que é retângulo , pois também está inscrito em uma semicircunferência, conforme a figura 4.







Figura 4

O ângulo Ê é igual ao ângulo (a – b), pois subtende o mesmo arco BC, logo podemos obter algumas identidades:

como CE=AD, então ( 1 )
como CE=AD, então ( 2 )

Usando o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero ABCD, vem:

AB.CD + AD.BC = AC.BD ( 3 )

Substituindo os valores obtidos de ( 1 ), na expressão ( 3 ), temos:

(AD.cosa).(AD.senb) + AD.(AD.sem(a – b)) = (AD.cosb).(AD.sena)

(AD)2.senb.cosa + (AD)2.sen(a – b) = (AD)2.sena.cosb

senb.cosa + sen(a – b) = sena.cosb

sen(a – b) = sena.cosb - senb.cosa

2.1.2 Cosseno da diferença

Agora aplicamos o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero ABCE, então:

EC.AB + AE.BC = AC.EB ( 4 )

Substituindo os valores de ( 2 ) em ( 4 ), temos:

AD.ADcosa + ADsenb.ADsen(a - b) = ADcosb.ADcos(a – b)
cosa + senb.sen(a - b) = cosb.cos(a – b) (: cosb)


2.2 Soma de dois arcos

2.2.1 Seno da soma

De forma análoga se tomamos o quadrilátero ABCD, conforme a figura 5, e traçamos dois segmentos: BE, passando pelo centro da circunferência O e CE formando o triângulo BCE. Podemos também observar que os ângulos e são congruentes pois subtendem o mesmo arco BC.
Figura 5

Podemos então evidenciar algumas afirmativas relacionadas aos triângulos BCE, ADB e ACD que são retângulos, pois estão todos inscritos em semicircunferências.








Usando o teorema de Ptolomeu aos quadriláteros ABCD e BCDE, temos:

AD.BC + AB.CD = BD.AC ( * )

BC.ED + BE.CD = BD.CE ( * * )

como BE = AD, pois são diâmetro da circunferência e também diagonais do retângulo
ABDE, logo AB = DE. Isolando CD na expressão ( ** ), vem:


e substituindo em ( * ), resulta:


substituindo os valores obtidos anteriormente da figura 5, resulta:


2.2.2 Cosseno da soma

Usando a expressão ( *) e substituindo mais uma vez os valores obtidos anteriormente
da figura 5, temos:

AD.BC + AB.CD = BD.AC

AD. ADsenb + ADsena.ADcos(a +b) = ADcosa. ADsen(a + b)

senb + sena.cos(a +b) = cosa.sen(a + b)

senb + sena.cos(a +b) = cosa.(sena.cosb + senb.cosa)
sena.cos(a +b) = cosa.(sena.cosb + senb.cosa) – senb

sena.cos(a +b) = cosa.sena.cosb + senb.cos²a – senb

2.3 Arco metade

2.3.1 Seno da metade

Seja o quadrilátero ABCD inscrito na circunferência de diâmetro AC , onde D é o ponto médio do arco BC , logo BD= DC (por construção).


Figura 6

Os triângulos ADB e ADE são congruentes pelo critério LAL, logo DB=DE, mas BD=DC, então DE=DC, isto é o triangulo EDC é isósceles, assim DF e uma das alturas desse triângulo e mediana, desta maneira EF=FC. Mas FC é projeção de DC sobre AC e é igual a ½ (AC – AE) ; desta forma podemos escrever:
FC= ½ (AC – AE) = ½ (AC – AB)

Do triângulo ADC retângulo (inscrito em uma semicircunferência) , temos:
(DC)2 = AC . FC (média geométrica)
(DC)2 = AC. ½ (AC -AB)(multiplicando ambos os lados por ( ),vem:
e ,temos:

2.3.2 Cosseno da metade

Utilizando agora o teorema de Pitágoras no triangulo ADC, temos:
(AC)2 = (DC)2 +(AD)2 (multiplicando ambos os lados por ( ), temos:
, como e










3. TÁBUA DE CORDAS DE PTOLOMEU

(a) Prove o teorema de Ptolomeu: Num quadrilátero cíclico, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos pares de lados opostos.
(b) Deduza, a partir do teorema de Ptolomeu, as seguintes relações:
1. Se a e b são as cordas de dois arcos de círculo de raio unitário, então
s = a (4 - b² ) ½ + b (4 - a² ) ½
2 2

é a corda da soma dos dois arcos.
2. Se a e b, a ³ b, são as cordas de dois arcos de um círculo de raio unitário, então
d = a (4 - b²) ½ - b (4 - a² ) ½
2 2

é a corda da diferença dos dois arcos.
3. Se t é a corda de um arco de um circulo de raio unitário, então
s = {2 – (4 - t² ) ½}½

é a corda do arco da metade.

Num círculo de raio unitário, cdr 60º=1, e, pode-se mostrar, cdr 36º= parte maior do raio quando dividido em seção áurea [ ver exercício 3.10(d)] = 0,6180. Devido a (2), crd 24º = crd (60º - 36º) = 0,4158. Por meio de (3) podem-se calcular as cordas de 12º, 6º, 3º, 90º e 45º, obtendo-se crd 90º = 0,0262 e crd 45º = 0,0131. Devido ao exercício 6.1(b), crd 60º/ crd 45º < 45 =" 4/3," 60 =" 3/2,"> (2/3) (0,0262) = 0,0175. Portanto, crd 1º = 0,0175. Por meio de (3) podemos encontrar também crd (1/2)º. Com isso podemos construir uma tábua de cordas com incrementos de (1/2)º. Esse é o âmago do método de Ptolomeu para a construção de sua tábua de cordas.
(c) Mostre que as relações (1), (2) e (3) de (b) são equivalentes às formulas trigonométricas para sem (a+b), sen (a-b) e sen (0/2).
Demonstre os interessantes resultados seguintes, como conseqüência do teorema de Ptolomeu: Se P pertence ao arco AB da circunferência circunscrita a
1. um triangulo eqüilátero ABC, então PC=PA+PB,
2. um quadrado ABCD, então (PA+PC)PC=(PB+PD)PD,
3. um pentágono regular ABCDE, então PC+PE=PA+PB+PD,
4. um hexágono regular ABCDEF, então PD+PE=PA+PB+PC+PF.





























4. PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA

Em seu Planisfério Ptolomeu desenvolveu a projeção estereográfica – uma aplicação pela qual se representam os pontos de uma esfera, exceto um dos pólos, por suas projeções, a partir desse pólo, sobre o plano equador. Tomando-se o pólo Sul como centro de projeção (ver figura 53), em que essa aplicação transforma:
(a) os paralelos da esfera?
(b) Os meridianos da esfera?
(c) Circunferências não-máximas, sobre a superfície da esfera, passando pelo pólo Sul?
Figura 53

Pode-se provar que qualquer circunferência sobre a superfície da esfera e que não passa pelo pólo Sul transforma-se numa circunferência do plano. A projeção estereográfica tem a propriedade muito importante de que é uma representação conforme – isto é, ela conserva os ângulos entre as curvas. Por que essa propriedade é ao se representar uma pequena parte da superfície da Terra sobre um plano? (Para um desenvolvimento interessante da trigonometria esférica a partir da trigonometria plana, através da projeção estereográfica, veja-se Spherical Trigonometry after the Cesáro Method de J.D.H. Donnay, Nova York, Interscience, 1945).









5. DESAFIOS MATEMÁTICOS

5.1 "Desafio da escada rolante"
Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

SOLUÇÃO DO DESAFIO
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez.
MARCOS sobe 1 degrau por vez.
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor).
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está nº 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou – 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2). FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação:
28+X = (14+X)+(7+(X/2))
28+X = 21+(3X/2)
28-21 = (3X/2)-X
7 = X/2
X = 14
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVOandou 28+X no total):
28+14 = 42 degraus

5.2 O cavalo e o Burro

Problema – Aqui vai um antigo exercício muito simples e fácil de ser traduzido para o idioma algébrico:

“Um cavalo e um burro caminhavam juntos, levando sobre os lombos pesadas cargas. Lamentava-se o cavalo de seu revoltante fardo, ao que obtemperou-lhe o burro: “ De que te queixas? Se eu te tomasse um saco, minha carga passaria ser o dobro da tua. Por outro lado, se eu te desse um saco, tua carga igualaria a minha!

Dizei-me, doutos matemáticos, quantos sacos levava o cavalo, e quantos o burro?”

Solução
Se eu te tomasse um saco,
x-1
minha carga
y+1
seria o dobro da tua.
y+1=2(x-1)
E se eu te der um saco,
y-1
tua carga
x+1
ficará igual à minha.
y-1=x+1

Armamos um sistema de duas equações incógnitas, para a resolução do problema, a saber,
Y + 1 = 2(x – 1)ý ou,
Y – 1 = x + 1

í2x – y = 3
y – x = 2
Resolvido o sistema, vê-se que x = 5 e y = 7. O cavalo levava 5 sacos e o burro 7.


5.3 Os Quatro Irmãos

Problema – Quatro irmãos possuem 45 reais. Se o dinheiro do primeiro for aumentado de 2 reais, o do segundo reduzido de 2; se se dobrar o dinheiro do terceiro, e cortar pela metade o do quarto, todos os irmãos terão o mesmo tanto de reais. Quanto tinha cada um?



Solução
Os quatro irmãos tem r$ 45,00
x+y+z+t=45
Se o dinheiro do primeiro for aumentado de r$ 2,00
x+2
o do segundo reduzido de r$ 2,00;
y-2
se se dobrar o dinheiro do terceiro
2z
e cortar pela metade o do quarto.
t/2
todos os irmãos terão o mesmo tanto em reais.
x+2=y-2=2z=t/2

A ultima igualdade nos permite armar tres equaçoes independentes, a saber,

x + 2= y - 2,
x + 2= 2z,
x + 2 = t/2.
donde,
y = x + 4
z = x + 2
2
t = 2x + 4
Levando-se estas expressões à primeira equação, teremos:
X + x + 4 + x + 2 + 2x + 4 = 45,
2
donde, finalmente, x = 8, y = 12, z = 5 e t = 20, que são os totais de reais que cada um irmão tinha.


CONCLUSÃO


Pensar no ensino da matemática hoje não significa apenas pensar em cálculos sobre as quatro operações. Significa estudar e perceber a importância da historia da matemática, sua evolução e seu desenvolvimento.

Ao pesquisar sobre a vida e obra de Ptolomeu, percebeu-se que, apesar de ser um grande matemático, ele também cometeu erros, como quando tentou calcular a circunferência da Terra e, conforme sua estimativa, encontrou um valor 20% menor do que o real. Além disso, Ptolomeu sobrevalorizou o imenso tamanho da Ásia.

Estes equívocos reforçam a idéia de que o conhecimento e a aprendizagem se dão através de tentativas, erros, avaliações e novas tentativas, seguindo assim os passos da origem e do desenvolvimento da matemática.

sexta-feira, 15 de agosto de 2008

OBRAS



Entre outras coisas afirma que a Terra é o centro do universo. O sistema ptolomaico, em que a Terra aparece como o centro, é adotado pela Igreja Católica durante toda a Idade Média, até ser derrubada pelas teorias de Nicolau Copérnico e Galileu Galilei.

Em sua obra principal, A Grande Síntese, geralmente mencionada com o título da tradução árabe, Almagesto, apresenta seus cálculos sobre a dimensão da Lua e a distância entre ela e o Sol.
Inventa o astrolábio e organiza um catálogo de 1 022 estrelas fixas, das quais 172 são descobertas por ele. Como geógrafo, compila na obra Geographia os dados de latitude e longitude e os mapas, respectivos, de 27 países mediterrâneos.

Quem foi CLAUDIO PTOLOMEU?

Considerado um dos maiores sábios da antiguidade dedicou-se a diversos campos do conhecimento: matemática, geografia, física e especialmente astronomia. Defendia o sistema geocêntrico (sistema que coloca a Terra no centro do Universo, no qual o Sol, os planetas, as estrelas "fixas" movimenta-se em volta da Terra). A Igreja Católica viria a aceitar a sua tese como a correcta fazendo com que o modelo geocêntrico fosse aceito sem contestação durante os 14 séculos seguintes.
Não existem muitos conhecimentos sobre a vida desta grande figura. Claudio Ptolomeu terá nascido por volta do ano 90 d.C. em Ptolomaida no Egipto e terá vivo em Alexandria entre os anos 120 e 145.
Ele foi autor de várias obras, algumas delas já desaparecidas. Na astronomia ele sintetiza a obra de seus antecessores criando a sua obra principal: "A grande sintese" também conhecida como "O grande astrónomo" ou ainda por "Almagesto". Esta obra divide-se em 13 livros ou capítulos.
Segundo a tradição islâmica, Claudio Ptolomeu terá morrido aos 78 anos de idade.


APRESENTAÇÃO

Este blog foi desenvolvido como atividade de pesquisa, na disciplina de Informática Aplicada a Matemática, dda UNISC-Universidade de Santa Cruz do Sul, pelos academicos Guilherme Petry e Taís Moraes Oliveira.
Santa Cruz do Sul, 15 de agosto de 2008.